тур Lf, tij- По постоянна и определяется рекуррентным соотношением

maxiV(L,) = /„/;

fn = Хп-] + F„ i, rt = 2, ... ttj-.

(3.1)

Доказательство проводим методом индукции.

Обозначим через Х„ количество ДНС, оканчивающихся на одно состояние (исправен или неисправен), а через F„- оканчивающихся на второе состояние (неисправен или исправен) для первых п последовательно связанных элементов структуры Lj, причем Xn>Yn, «> 2. Это следует из того, что Г„ > О при п> 2.

Для случая двух элементов, т. е. при п,- = 2, соотношение (3.1) является справедливым, поскольку в Р-моделях взаимодействия при фиксированном результате контроля и,-, допустимым является только три набора состояний работоспособности элементов и, и Ujj.

Предположим, что соотношение (3.1) справедливо при некотором значении п > 2. Докажем его справедливость для п + \.

Действительно, значение /„+i может быть определено одним из двух соотношений:

/„+, = 2Х„ , -f Г„ , (3.2)

и /;-+, = 2Г„ , -f Х„ ,. (3.3)

Однако fn - Хп-] + Yn-i, поэтому из соотношений (3.2) иД3.1) следует, что f,[+] =/„ + Х„ ,, а из (3.3) и (3.1), что fn+i = /« + Yn-i- Тогда, подставляя значения fn+i и fn+u находим, что

fn+l - fn+l = Хп~] - Yn-\-

Однако, поскольку F„ i и п> 1, то fn+i - fn+i > О-

Следовательно, fn+i > /n+i и максимальное количество ДНС определяется как fn+\ = fn+i = 2Х„ -f F„, что доказывает справедливость соотношения (3.1) для при значении п + \. Поскольку значение /„ определяется лишь числовым значением п,; то /„, при заданном tij - tio, является постоянным. Существование максимального Lj, удовлетворяющего соотношению (3.1), вытекает из допустимости произвольных синдромов А) при фиксированной структуре связей Ej Таким образом, теорема доказана.

Применяя доказанную теорему, можно оценить количество дне при произвольном значении числа элементов tij последовательно связанных Элементов и-, g Vj на основании следующих двух следствий.

Следствие 1. Наибольшее количество /„ ДНС для п элементов равно числу Фибониччи п-й степени:

/« = /«-1 +tn-2, п>\, (3.4)

где /о= 1; /-1 = 1-

Действительно, производя замену /„ i = /„ 2 =

= Yn-\ = Хп-2 и подставляя полученные значения в соотношение (3.1), получаем fn = fn~i + fn-2- При этом начальные условия определяются следующим образом: при п = I fi = = Х„Ч-Го = 2, т.е. /о = Хо = 1 и / , = Г„=1, что и до-казывает следствие.

Следствие 2. Цепочка из элементов, имеющих синдром из единичных результатов контроля, является максимальной.

Данный результат можно получить непосредственной проверкой выполнения соотношения (3.1) при наличии единичных результатов контроля между элементами цепи. Назовем такие цепочки элементов /-структурами.

Теорема 12 и следствия 1 и 2 дают возможность оценивать свойства и верхнюю границу количества ДНС для произвольных структур взаимоконтроля.

Оценка количества ДНС вытекает из следующей леммы.

Лемма 4. Пусть L, ... , Lk - совокупность цепочных структур, полученных из структуры G = G{V, Е), таких, что Vi, me 11.....k} 1фт:

Vtf]V==0, Vi, Vc=v.

Тогда количество допустимых наборов неисправностей Л удовлетворяет неравенству

A<22n/v (3.5)

где ni = \Vj\; г = \V\(V,[]vJ[] []Vu)]. Доказательство следует из свойств цепочных структур и введенных для них ограничений. Действительно, максимальное количество ДНС для каждой из цепочек L/ определяется согласно теореме 12 как /„., при условии, что отсутствуют связи между конечными элементами цепи. Следовательно, наибольшее число для цепочек Li, L,, не превышает П/„ .

/=1

Рассматривая оставшиеся m элементов, не входящих ни в одну из цепей, как изолированные, т. е. такие, исправность которых не зависит от исправности смежных с ними элементов.

получаем искомое соотношение (3.5), позволяющее оценить верхнюю границу количества ДНС при произвольном значении синдрома и тем самым определяющее диагностические возможности самой структуры при анализе системы.

Одной из основных задач диагностирования является определение участков диагностической структуры с неисправными элементами. Наиболее просто это сделать в структурах с заданными для них синдромами, которые имеют небольшое количество ДНС. При диагностировании в таких структурах достаточно просто перечислить все ДНС с последующим выделением из них наиболее характерных неисправностей.

По аналогии с ранее рассмотренными максимальными структурами Li, введем определение минимальных структур.

Незамкнутую цепочку элементов L/ будем называть минимальной структурой, если при заданных £, и множестве синдромов а количество ДНС является минимальным, т. е. (LjUn = гаш N {Lj), i: VA) i Л? 1 - 1,

Л,-£ а,, щ = const.

Рассмотрим свойства минимальных структур.

Теорема 13. Мощность множества ДНС минимальных структур Lj при фиксированном значении количества элементов «,= = «о постоянна и определяется рекуррентным соотношением

где = Х„ , + Y, , = F„ ,. n > 2; Х„ = Г„= 1.

Доказательство проводим методом индукции.

При значении п == 2функция /„ из соотношения (3.4) является минимальной и равна 3 (количество ДНС для двух Элементов).

Пусть функция /„, определяемая соотношением (3.6), является минимальной при « > 2. Рассмотрим теперь значение /„ при п -f 1. При этом возможны два случая.

В первом случае последний элемент п-\- 1 имеет первое состояние исправности, совместимое с множеством из X„ i дне, а второе - совместимое с и F„ x ДНС. Тогда

значение fn функции /„+i определяется из соотношения:

fn+l - Х. -\- YХ„ = ni + F„ i; Yn = Yni-

Во втором случае последний элемент п + 1 имеет первое состояние неисправности с множеством состояний F„ i, а второе - с множеством X„ „ F„ , ДНС. Тогда значение fn+l функции мощности дне определяется из соотношения

fn+l =Лп+ Упг = п-1 + Yn-l п, = n-V